(1)
3a(n+1)-an=0
3a(n+1)=an
a(n+1)/an=1/3,为定值.
又a1=1,数列{an}是以1为首项,1/3为公比的等比数列.
an=1×(1/3)^(n-1)=1/3^(n-1)
数列{an}的通项公式为an=1/3^(n-1).
(2)
Sn=a1(1-qⁿ)/q=1×(1-1/3ⁿ)/(1-1/3)=(3/2)(1-1/3ⁿ)=3/2 -1/[2×3^(n-1)]
随n增大,3^(n-1)单调递增,2×3^(n-1)单调递增,1/[2×3^(n-1)]单调递减,3/2-1/[2×3^(n-1)]单调递增,当n=1时,Sn有最小值1.
k≤Sn,要对任意Sn,不等式恒成立,则需要当Sn取最小值时,不等式仍成立.
k≤1.k的最大值是1.