Question

已知正实数m,n,p,q满足pq/mn=(p+q)/(m+n)=k,求k的取值范围

Answer 1

k>=1

pq=kmn

p+q=k(m+n),

存在正实数pq,等价于判别式(p-q)²=k²(m+n)²-4kmn>=0.

k明显大于0,所以上式相当于k>=4mn/(m+n)²=4/(m/n+n/m+2)

这个式子对所有mn都需成立,因此只要看4/(m/n+n/m+2)的最大值即可.

m/n+n/m>=2√(m/n*n/m)=2,所以4/(m/n+n/m+2)=1即可.