Question

求通过点（1,2）的曲线方程,使曲线上任意点处切线与原点的距离等于该点横坐标的绝对值

Answer 1

曲线在(a,y(a))处的切线方程为y=y'(a)(x-a)+y(a)

它与原点的距离=|-ay'(a)+y(a)|/√(1+y'(a)²)=|a|

平方,得：a²y'²+y²-2ayy'=a²(1+y'²)

2ayy'=y²-a²

将a换成x,则得：2xyy'=y²-x²

令y=xu,则y'=u+xu'

2x²u(u+xu')=x²u²-x²

u+xu'=(u²-1)/(2u)

xu'=(-1-u²)/(2u)

2udu/(1+u²)=-dx/x

d(u²)/(1+u²)=-dx/x

积分：ln(1+u²)=-ln|x|+C1

1+u²=C/x

1+y²/x²=C/x

x²+y²-Cx=0

代入点(1,2),得：1+4-C=0,得C=5

所以曲线方程为x²+y²-5x=0