（2014•黄山二模）在数列{an}中，a1=3， - 知识问答

（2014•黄山二模）在数列{an}中，a1=3，an=2an-1+n-2（n≥2，且n∈N*）

1个回答

解题思路：（1）由题设条件，分别取n=2，3，能够得到a₂，a₃的值；
（2）由
a
n
+n
a
n−1
+(n−1)
＝
(2
a
n−1
+n−2)+n
a
n−1
+n−1
＝
2
a
n−1
+2n−2
a
n−1
+n−1
＝2
，知数列a_n+n是首项为a₁+1=4，公比为2的等比数列．由此能求出{a_n}的通项公式；
（3）由a_n的通项公式为a_n=2ⁿ⁺¹-n（n∈N⁺），知S_n=（2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹）-（1+2+3+…+n），从而得到数列{a_n}的前n项和S_n．
（1）∵a₁=3，a_n=2a_n-1+n-2（n≥2，且n∈N⁺）
∴a₂=2a₁+2-2=6（2分）
a₃=2a₂+3-2=13（4分）
（2）证明：∵
an+n
an−1+(n−1)＝
(2an−1+n−2)+n
an−1+n−1＝
2an−1+2n−2
an−1+n−1＝2
∴数列a_n+n是首项为a₁+1=4，
公比为2的等比数列．（7分）
∴a_n+n=4⋅2^n-1=2ⁿ⁺¹，
即a_n=2ⁿ⁺¹-n
∴a_n的通项公式为a_n=2ⁿ⁺¹-n（n∈N⁺）（9分）
（3）∵a_n的通项公式为a_n=2ⁿ⁺¹-n（n∈N⁺）
∴S_n=（2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹）-（1+2+3+…+n）（11分）
=
22×(1−2n)
1−2−
n×(n+1)
2＝2n+1−
n2+n+8
2（13分）
点评：
本题考点：数列递推式；数列的求和．
考点点评：本题考查数更的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．

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