Question

有关轴对称和三角形以及全等在△ABC中,∠ACB=2∠ABC,P为三角形内一点,且AP=AC,PB=PC,求证:∠BAC

Answer 1

首先过P点做BC的垂直平分线,交BC于E,交AB于D

这样,我们就知道DBC,是一个等腰三角形

∠DBC=∠DCB,又因为∠ACB=2∠ABC,所以CD是∠ACB的角平分线

△ACD与△ABC相似,所以：

AC:AB=AD:AC

AP=AC,所以AP:AB=AD:AP

所以△APD与△ABP相似

所以∠APD=∠ABP

1、

∠CAP=180°-2∠ACP

=2×(180°-∠ACD-∠DCP)

=2×(90°-∠ABC-∠ABP)

=2×(90°-2∠ABP-∠PBC)

2、

∠PAB=180°-∠APB-∠ABP

=180°-∠APD-∠DPB-∠ABP

=180°-∠ABP-（90°+∠PBC）-∠ABP

=90°-∠PBC-2∠ABP

所以∠CAP=2∠PAB

∠BAC=3∠BAP