Question

设a＞0，函数f（x）=x 3 -ax在[1，+∞）上是单调函数．

Answer 1

（1）f′（x）=3x ²-a

若f（x）在[1，+∞）上是单调递减函数，

则须y′≤0，即α≥3x ²恒成立，

这样的实数a不存在，

故f（x）在[1，+∞）上不可能是单调递减函数；

若f（x）在[1，+∞）]上是单调递增函数，则a≤3x ²恒成立，

由于x∈[1，+∞），故3x ²≥3，解可得a≤3，

又由a＞0，则a的取值范围是0＜a≤3；

（2）（反证法）由（1）可知f（x）在[1，+∞）上只能为单调递增函数．

假设f（x ₀）≠x ₀，若1≤x ₀＜f（x ₀），则f（x ₀）＜f（f（x ₀））=x ₀，矛盾； …（8分）

若1≤f（x ₀）＜x ₀，则f（f（x ₀））＜f（x ₀），即x ₀＜f（x ₀），矛盾，…（10分）

故只有f（x ₀）=x ₀成立．