解题思路：（1）把x=0代入解析式求出f（0），再求出函数的导数f′（x），把x=1代入f′（x）求出f′（1），再求出f（0），代入解析式即求出f（x）的解析式，再由导数的单调性，求出f′（x）＜0和f′（x）＞0解集，即求出函数的单调区间；
（2）将条件转化为：ex-x-a=0在[-1，2]上恰有两个不同的根，构造函数h（x）=ex-x-a，再求出导数并判断出在[-1，2]上的单调性，再列出不等式组求解即可．
（1）由题意得，f（0）=
f′(1)
e•e0=
f′(1)
e]，
且f′（x）=
f′(1)
e•ex−f(0)+x=
f′(1)
e•ex−
f′(1)
e+x，
∴f′（1）=
f′(1)
e•e −
f′(1)
e+1，解得f′（1）=e，且f（0）=1，
故f（x）=ex−x+
1
2x2，
∴f′（x）=ex-1+x，
又∵f′（x）=ex-1+x在R上递增，且f′（0）=0，
∴当x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）的增区间是（0，+∞），减区间是（-∞，0），
（2）由题意得，g（x）与函数f（x）的图象在区间[-1，2]上恰有两个不同的交点，
则[1/2x2+a=ex−x+
1
2x2在[-1，2]上恰有两个不同的根，
即ex-x-a=0在[-1，2]上恰有两个不同的根，
设h（x）=ex-x-a，则h′（x）=ex-1，
令h′（x）=ex-1=0得，x=0，
∴当x＜0时，h′（x）＜0；当x＞0时，h′（x）＞0，
∴h（x）在[-1，0]上递减，在（0，2]上递增，
∵ex-x-a=0在[-1，2]上恰有两个不同的根，
∴
h(0)＜0
h(−1)＞0
h(2)＞0]，即
1−a＜0
e−1+1−a＞0
e2−2−a＞0，
解得1＜a＜1+[1/e]，
故实数a的取值范围是（1，1+[1/e]）．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法；函数的零点与方程根的关系．
考点点评： 本题考查导数性质的应用，涉及到函数的单调性，方程根与函数的图象的交点问题等知识点的应用，解题时要认真审题，仔细解答，考查了转化思想和构造函数法．