解题思路：（1）先求an=n，代入已知可得bn+2bn-1+3bn-2+…+（n-1）b2+nb1=2n+1-n-2，则bn-1+2bn-2+3bn-3+…+（n-2）b2+（n-1）b1=2n-n-1（n≥2）两式相减可求数列bn
（2）同（1）可得
a
n
＝
2−q
b
•
2
n
+
q−1
b
×n+
q−2
b
，结合q的取值及等差数列的通项公式可求
（3）利用放缩不等式[1/1×1+
1
2×2
+
1
3
×2
2
+…+
1
n
×2
n−1
＜
1
1×1
+
1
2×2
+
1
2×
2
2
+…+
1
2×
2
n−1
]可证
（1）依题意数列an的通项公式是an=n，
故等式即为bn+2bn-1+3bn-2+…+（n-1）b2+nb1=2n+1-n-2，bn-1+2bn-2+3bn-3+…+（n-2）b2+（n-1）b1=2n-n-1（n≥2），
两式相减可得bn+bn-1+…+b2+b1=2n-1（3分）
得bn=2n-1，数列bn是首项为1，公比为2的等比数列．（4分）
（2）设等比数列bn的首项为b，公比为q，则bn=bqn-1，从而有：bqn-1a1+bqn-2a2+bqn-3a3+…+bqan-1+ban=2n+1-n-2，
又bqn-2a1+bqn-3a2+bqn-4a3+…+ban-1=2n-n-1（n≥2），
故（2n-n-1）q+ban=2n+1-n-2（6分）
an＝
2−q
b×2n+
q−1
b×n+
q−2
b，
要使an+1-an是与n无关的常数，必需q=2（8分）
即①当等比数列bn的公比q=2时，数列an是等差数列，其通项公式是an＝
n
b；
②当等比数列bn的公比不是2时，数列an不是等差数列．（9分）
（3）由（2）知anbn=n•2n-1，（10分）
显然n=1，2时
n
i＝1
1
aibi＜
3
2
当n≥3时
n
i＝1
1
aibi＝
1
1×1+
1
2×2+
1
3×22+
1
4×23++
1
n×2n−1
＜[1/1×1+
1
2×2+
1
2×22+…+
1
2×2n−1]（14分）
=1+
1
2×2•
1−(
1
2)n−1
1−
1
2=[3/2−
1
2n]＜
点评：
本题考点： 等差数列与等比数列的综合．
考点点评： 本题主要考查等差数列、等比数列通项公式及由数列的“和”转化为“项”的综合应用，考查运算能力和推理论证能力．解题中体现了分类讨论的思想在解题中的应用．
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