Question

公差为d的等差数列{an},证：数列中两项之和是数列中一项充要条件是存在整数m≥－1,使a1＝md

Answer 1

证明：1）证明数列中有两项和是数列中一项,则(m>=1,且m为整数）

设ai,aj,ak为数列{an}的项,且ai+aj=ak成立,则

a1+(i-1)d+a1+(j-1)d=a1+(k-1)d

a1+(i+j-k-1)d=0

a1=(1+k-i-j)d

设m=k-i-j+1,因为j+i>2(不可能都是第一项）,k>0且k,j,i是整数,所以m>=-1且m是整数

2)证明若a1=md(m>=1,且m为整数）,则数列{an}的中有三项ai,aj,ak,使ai+aj=ak成立

ai+aj=a1+(i-1)d+a1+(j-1)d=a1+a1+(i+j-2)d=a1+(m+j+i-2)d

设k=m+j+i-1,因为m>=-1,j+i>2(不可能都是第一项）,所以k>0且k是整数,即ak=a1+(k-1)d是an中的项成立.