解题思路：（Ⅰ）先求出函数的导函数，研究出原函数在[1，3]上的单调性即可求出函数f（x）在[1，3]上的最小值；
（Ⅱ）先把不等式2f（x）≥-x2+ax-3成立转化为
a≤2lnx+x+
3
x
成立，设
h(x)=2lnx+x+
3
x
(x＞0)
，利用导函数求出h（x）在
x∈[
1
e
，e]
上的最大值即可求实数a的取值范围．
（Ⅰ）由f（x）=xlnx，可得f'（x）=lnx+1，（2分）
当x∈(0，
1
e)时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈(
1
e，+∞)时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
所以函数f（x）在[1，3]上单调递增．
又f（1）=ln1=0，
所以函数f（x）在[1，3]上的最小值为0．（6分）
（Ⅱ）由题意知，2xlnx≥-x2+ax-3，则a≤2lnx+x+
3
x．
若存在x∈[
1
e，e]使不等式2f（x）≥-x2+ax-3成立，
只需a小于或等于2lnx+x+
3
x的最大值．
设h(x)=2lnx+x+
3
x(x＞0)，则h′(x)=
2
x+1-
3
x2=
(x+3)(x-1)
x2．
当x∈[
1
e，1)时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；
当x∈（1，e]时，h'（x）＞0，h（x）单调递增．
由h(
1
e)=-2+
1
e+3e，h(e)=2+e+
3
e，h(
1
e)-h(e)=2e-
2
e-4＞0，
可得h(
1
e)＞h(e)．
所以，当x∈[
1
e，e]时，h（x）的最大值为h（[1/e]）=-2+[1/e]+3e，
故a≤-2+[1/e]+3e（13分）
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．
考点点评： 本题主要研究利用导数求闭区间上函数的最值以及函数恒成立问题．当a≥h（x）恒成立时，只需要求h（x）的最大值；当a≤h（x）恒成立时，只需要求h（x）的最小值．