椭圆绕x轴旋转一周的体积

1个回答

  • 绕x轴旋转,则旋转半径为|y|

    若焦点在x轴上,设参数方程为 x=acost,y=bsint,dx=-asintdt

    在横坐标为x处取微元,有dV=πy²dx

    ∴V=∫(-a,a) πy²dx=∫(-π,0) πb²sin²t*(-asint)dt

    =πab²∫(-π,0) (1-cos²t)dcost

    =πab²∫(-π,0) dcost-πab²∫(-π,0) cos²tdcost

    =πab²cost (-π,0) -1/3*πab²cos³t (-π,0)

    =2πab²-2/3*πab²

    =4/3*πab²

    若焦点在y轴上,设参数方程为 x=bcost,y=asint,dx=-bsintdt

    在横坐标为x处取微元,有dV=πy²dx

    ∴V=∫(-b,b) πy²dx=∫(-π,0) πa²sin²t*(-bsint)dt

    =πa²b∫(-π,0) (1-cos²t)dcost

    =πa²b∫(-π,0) dcost-πa²b∫(-π,0) cos²tdcost

    =πa²bcost (-π,0) -1/3*πa²bcos³t (-π,0)

    =2πa²b-2/3*πa²b

    =4/3*πa²