Question

在（1+x） n 的展开式中，已知第3项与第5项的系数相等．

Answer 1

由已知得

C 2n =

C 4n ，即

n(n-1)

2 =

n(n-1)(n-2)(n-3)

4×3×2×1 ，解得n=6 …（3分）

（1）∵ (x 2 -

1

x ) 6 的通项T _r+1=

C r6 （x ²） ^6-r(-

1

x ) r =（-1） ^r

C r6 x ^12-3r，

∴当r=3时，展开式中的系数最小，即T ₄=-20x ³为展开式中的系数最小的项；

当r=2或r=4时，展开式中的系数最大，即T ₃=15x ⁶，T ₅=15为展开式中的系数最大的项 …（9分）

（2）∵（x ²+x-2） ⁶=（x ²+x-2）•（x ²+x-2）•…•（x ²+x-2）（6个括号相乘），

要出现x ²项，有两类：

一类是6个括号中有一个括号提供x ²项，另5个括号均提供-2，共有

C 16 ×（-2） ⁵=-192个；

另一类是6个括号中有二个括号提供x项，另4个括号均提供-2，共有

C 26 ×1 ²×（-2） ⁴=240个；

∴（x ²+x-2） ⁶展开式中含x ²项的系数为

C 16 ×（-2） ⁵+

C 26 ×1 ²×（-2） ⁴=-192+240=48．…（15分）