Question

已知函数f(x)＝a−12x+1．

Answer 1

解题思路：（1）根据增函数的定义证明即可；

（2）利用奇函数的性质f（0）=0，求得a，再验证函数在定义域上是奇函数．

（3）利用（1）得出是增函数的结论，求解即可．

（1）证明：任取x₁＜x₂∈R则f(x1)−f(x2)＝a−

1

2x1+1−(a−

1

2x2+1)=[1

2x2+1−

1

2x1+1=

2x1−2x2

(2x2+1)(2x1+1)．

∵x₁＜x₂ 2x1−2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0故f（x₁）-f（x₂）＜0

所以函数f（x）在R上为增函数．

（2）因函数f（x）在x=0 有意义，又函数f（x）为奇函数，则f（0）=0

即f(0)＝a−

1/2＝0，得a＝

1

2]，

当a=[1/2]时，f（-x）=-f（x），函数是奇函数．

∴a的值为[1/2]

（3）根据①函数是增函数，x∈[-1，2]时，f（-1）≤f（x）≤f（2），

∵f（-1）=-[1/6]，f（2）=[3/10]

∴函数的值域是[-[1/6]，[3/10]]

点评：

本题考点： 奇偶性与单调性的综合；函数的值域．

考点点评： 本题考查函数的单调性、奇偶性及函数的值域．