由柯西不等式的变式
a/(b+c-a)+b/(a+c-b)+c/(a+b-c)
=a^2/a(b+c-a)+b^2/b(a+c-b)+c^2/c(a+b-c)
>=(a+b+c)^2/[a(b+c-a)+b(a+c-b)+c(a+b-c)]
=(a+b+c)^2/[2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)]
=(a+b+c)^2/{(ab+bc+ca)-[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)]/2}
>=(a+b+c)^2/(ab+bc+ca)
>=3
由基本不等式,得
a/(b+c-a)+b/(a+c-b)+c/(a+b-c)
>=3[abc/(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)]^(1/3) (1)
下面证:abc/(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)>=1
即 abc>=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) (2)
因为 a^2>=a^2-(b-c)^2=(a+b-c)(a-b+c),
同理 b^2>=(b+c-a)(b-c+a),c^2>=(c+a-b)(c-a+b),
上面三式相乘后再开方,即得(2).
由(1)、(2)得
a/(b+c-a)+b/(a+c-b)+c/(a+b-c) >=3．