解题思路：（1）根据OE∥AC，得出∠BAC=∠FOB，进而得出∠BCA=∠FBO=90°，从而证明结论；
（2）根据△ACB∽△OBF得出△ABD∽△BFO，从而得出DQ∥AB，即可得出BQ=AD；
（3）首先得出AD=DP，QB=BQ，进而得出DQ2=QK2+DK2，得出BF=2BQ，即可得出Q为BF的中点．
（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，即：AC⊥BC，
又OE⊥BC，
∴OE∥AC，
∴∠BAC=∠FOB，
∵BN是半圆的切线，
∴∠BCA=∠FBO=90°，
∴△ABC∽△OFB．
（2）连接OP，
由△ACB∽△OBF得，∠OFB=∠DBA，∠BCA=∠FBO=90°，
∵AM、BN是⊙O的切线，
∴∠DAB=∠OBF=90°，
∴△ABD∽△BFO，
∴当△ABD与△BFO的面积相等时，△ABD≌△BFO，
∴AD=OB=1，
∵DP切圆O，DA切圆O，
∴DP=DA，
∵△ABD≌△BFO，
∴DA=BO=PO=DP，
又∵∠DAO=∠DPO=90°，
∴四边形AOPD是正方形，
∴DQ∥AB，
∴四边形ABQD是矩形，
∴BQ=AD=1；
（3）证明：由（2）知，△ABD∽△BFO，
∴[BF/OB]=[AB/AD]，
∴BF=[OB•AB/AD]=[1×2/AD]=[2/AD]，
∵DP是半圆O的切线，射线AM、BN为半圆O的切线，
∴AD=DP，QB=QP，
过Q点作AM的垂线QK，垂足为K，在Rt△DQK中，
DQ2=QK2+DK2，
∴（AD+BQ）2=（AD-BQ）2+22．
∴BQ=[1/AD]，
∴BF=2BQ，
∴Q为BF的中点．
点评：
本题考点： 切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
考点点评： 此题主要考查了切线的性质以及全等三角形的判定和相似三角形的判定等知识，熟练利用相似三角形的判定是解决问题的关键．