Question

已知方程(m+5)x^2-(2m+5)x+4=0的两个根恰好是一直角三角形两个锐角的余弦值,则m的值为?

Answer 1

有两个根

(2m+5)^2-16(m+5)>=0

4m^2+20m+25-16m-80>=0

4m^2+4m-55>=0

假设这两个角是A和B

则A=90-B

cosA=cos(90-B)=sinB

所以(cosA)^2+(cosB)^2=(sinB)^2+(cosB)^2=1

即x1^2+x2^2=1

x1+x2=(2m+5)/(m+5),x1*x2=4/(m+5)

x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1*x2=1

(2m+5)^2/(m+5)^2-8/(m+5)-1=0

两边乘(m+5)^2

4m^2+20m+25-8m-40-m^2-10m-25=0

3m^2+2m-40=0

(3m-10)(m+4)=0

m=10/3,m=-4

代入4m^2+4m-55>=0验证

m=-4不成立

所以m=10/3