Question

线性代数设a1、a2,……,an是实数域R中互不相同的数,b1、b2,……,bn是R中任一组给定的数,用克拉默法则证明：

Answer 1

设多项式f的系数为x1,x2,.,xn,则由f(ai)=bi(i=1,2,……,n)可得到关于x1,x2,.,xn的线性方程组,

由于方程组的系数矩阵的行列式为范德蒙行列式,而且a1、a2,……,an互不相同,所以系数矩阵的行列式不为零,

从而系数矩阵为非奇异,所以线性方程组有唯一解,也即存在唯一的R上次数小于n的多项式f(x),使

f(ai)=bi(i=1,2,……,n).