Question

设数列｛an}的前n项和为Sn,已知首项a1=3,且Sn+1+Sn=2an+1,试求此数列的通项公式an及前n项和Sn

Answer 1

S(n+1)+S(n)=2a(n)+1

S(n)+S(n-1)=2a(n-1)+1

两式相减

s(n+1)-s(n-1)=a(n+1)+a(n)=2a(n)-2a(n-1)

整理后有a(n+1)-a(n)+2a(n-1)=0

用特征根法可解得

a(n)=b[(1+√7i)/2]^n+c[(1-√7i)/2]^n,其中b、c为常数,i为虚数单位.又

s(2)+s(1)=2a(1)+a(2)=2a(1)+1,故a(2)=1

将a(1)=3,a(2)=1代入a(n)=b[(1+√7i)/2]^n+c[(1-√7i)/2]^n可解得

b=(7-5√7i)/14 c=(7+5√7i)/14 故

a(n)=[(7-5√7i)/14]*[(1+√7i)/2]^n+[(7+5√7i)/14]*[(1-√7i)/2]^n

现在求s(n)

S(n+1)+S(n)=2[s(n)-s(n-1)]+1

S(n+1)-S(n)+2s(n-1)=1

S(n)-S(n-1)+2s(n-2)=1

两式相减整理后有

S(n+1)-2S(n)+3s(n-1)-2s(n-2)=0

用特征法解得

s(n)=[(7+11√7i)/28]*[(1+√7i)/2]^n+[(-21-11√7i)/28]*[(1-√7i)/2]^n+(12-√7i)/2