解题思路:(1)构成三角形的条件是三边均为正数,且任意两边之和大于第三边,可求实数x的取值范围;
(2)先根据边长之间的关系,确定A为最大角,进而利用余弦定理,可求△ABC的最大内角;
(3)根据正弦定理确定△ABC的外接圆半径为R,根据等面积确定内切圆半径为r,从而可得[R/r]的不等式,进而可求其取值范围.
(1)由题意,
∵构成三角形的条件是三边均为正数,∴
x2−x+1>0
x2−2x>0
2x−1>0⇒
x>2或x<0
x>
1
2,∴x>2,
又∵任意两边之和大于第三边
∴a-b=x+1>0,a-c=(x-1)(x-2)>0
∴b+c>a,∴x2-2x+2x-1>x2-x+1,∴x>2…(4分)
(2)由(1)可知A为最大角,cosA=
b2+c2−a2
2bc=
(x2−2x)2+ (2x−1)2−(x2−x+1)2
2(x2−2x)(2x−1)=−
1
2,
∵A为三角形的内角,∴A=120°.…(10分)
(3)根据正弦定理得:R=
a
2sinA=
x2−x+1
3…(11分)
利用三角形的面积相等可得S△ABC(x)=
1
2bcsinA=
点评:
本题考点: 解三角形;正弦定理;余弦定理.
考点点评: 本题的考点是解三角形,主要考查构成三角形的条件,考查正弦、余弦定理,同时考查基本不等式的运用,其中构建[R/r]的表达式是解题的关键.