设a=x2-x+1,b=x2-2x,c=2x-1,若a,b,c分别为△ABC的相应三边长,

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  • 解题思路:(1)构成三角形的条件是三边均为正数,且任意两边之和大于第三边,可求实数x的取值范围;

    (2)先根据边长之间的关系,确定A为最大角,进而利用余弦定理,可求△ABC的最大内角;

    (3)根据正弦定理确定△ABC的外接圆半径为R,根据等面积确定内切圆半径为r,从而可得[R/r]的不等式,进而可求其取值范围.

    (1)由题意,

    ∵构成三角形的条件是三边均为正数,∴

    x2−x+1>0

    x2−2x>0

    2x−1>0⇒

    x>2或x<0

    x>

    1

    2,∴x>2,

    又∵任意两边之和大于第三边

    ∴a-b=x+1>0,a-c=(x-1)(x-2)>0

    ∴b+c>a,∴x2-2x+2x-1>x2-x+1,∴x>2…(4分)

    (2)由(1)可知A为最大角,cosA=

    b2+c2−a2

    2bc=

    (x2−2x)2+ (2x−1)2−(x2−x+1)2

    2(x2−2x)(2x−1)=−

    1

    2,

    ∵A为三角形的内角,∴A=120°.…(10分)

    (3)根据正弦定理得:R=

    a

    2sinA=

    x2−x+1

    3…(11分)

    利用三角形的面积相等可得S△ABC(x)=

    1

    2bcsinA=

    点评:

    本题考点: 解三角形;正弦定理;余弦定理.

    考点点评: 本题的考点是解三角形,主要考查构成三角形的条件,考查正弦、余弦定理,同时考查基本不等式的运用,其中构建[R/r]的表达式是解题的关键.