已知:函数f(x)=12x2+ax−2a2lnx(a>0)

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  • 解题思路:(I)先求出函数的定义域,进而根据函数的解析式,求出函数的导函数,分析导函数符号在不同区间上的取值,根据导函数符号与原函数的单调性之间的关系可得结论;

    (II)若f(x)>0恒成立,则f(x)的最小值大于0,根据(I)中结论,求出函数的最小值,代入构造关于a的不等式,解不等式可得a的取值范围

    (I)∵函数f(x)=

    1

    2x2+ax−2a2lnx(a>0)的定义域为(0,+∞)

    ∴f′(x)=x+a−

    2a2

    x=

    x2+ax−2a2

    x=

    (x+a)(x−2a )

    x

    ∵a>0,令f′(x)=0,则x=-a(舍去),或x=2a

    ∵当x∈(0,2a)时,f′(x)<0,∵当x∈(2a,+∞)时,f′(x)>0,

    ∴(0,2a)为函数f(x)=

    1

    2x2+ax−2a2lnx的单调递减区间,

    (2a,+∞)为函数f(x)=

    1

    2x2+ax−2a2lnx的单调递增区间;

    (II)由(I)得当x=2a时,函数取最小值4a2-2a2ln(2a)

    若f(x)>0恒成立

    则4a2-2a2ln(2a)=2a2•[2-ln(2a)]>0

    即2-ln(2a)>0

    解得a<

    e2

    2

    又∵a>0,

    ∴a的取值范围为(0,

    e2

    2)

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用.

    考点点评: 本题考查的知识点是利用导数求函数的单调区间和最值,其中熟练掌握导函数符号与原函数的单调性之间的关系,是解答的关键.