解题思路:(I)先求出函数的定义域,进而根据函数的解析式,求出函数的导函数,分析导函数符号在不同区间上的取值,根据导函数符号与原函数的单调性之间的关系可得结论;
(II)若f(x)>0恒成立,则f(x)的最小值大于0,根据(I)中结论,求出函数的最小值,代入构造关于a的不等式,解不等式可得a的取值范围
(I)∵函数f(x)=
1
2x2+ax−2a2lnx(a>0)的定义域为(0,+∞)
∴f′(x)=x+a−
2a2
x=
x2+ax−2a2
x=
(x+a)(x−2a )
x
∵a>0,令f′(x)=0,则x=-a(舍去),或x=2a
∵当x∈(0,2a)时,f′(x)<0,∵当x∈(2a,+∞)时,f′(x)>0,
∴(0,2a)为函数f(x)=
1
2x2+ax−2a2lnx的单调递减区间,
(2a,+∞)为函数f(x)=
1
2x2+ax−2a2lnx的单调递增区间;
(II)由(I)得当x=2a时,函数取最小值4a2-2a2ln(2a)
若f(x)>0恒成立
则4a2-2a2ln(2a)=2a2•[2-ln(2a)]>0
即2-ln(2a)>0
解得a<
e2
2
又∵a>0,
∴a的取值范围为(0,
e2
2)
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用.
考点点评: 本题考查的知识点是利用导数求函数的单调区间和最值,其中熟练掌握导函数符号与原函数的单调性之间的关系,是解答的关键.