解题思路：（1）由于奇函数f（x）=[x+b
x
2
+a
的定义域为R，故有f（0）=0，再由f（1）=
1/2]，可得实数a、b的值．
（2）由（1）可得f（x）=[x
x
2
+1
，设-1＜x1＜x2＜1，计算f（x2）-f（x1）＜0．可得函数f（x）在区间（-1，1）上为增函数．
（3）由于函数g（x）=3-x-f（x）=3-x-
x
x
2
+1
，求得g（-1）g（1）=-
7/12]＜0，可得函数 g（x）在（-1，1）上有零点．
（1）由于奇函数f（x）=[x+b
x2+a的定义域为R，故有f（0）=0，再由f（1）=
1/2]，可得实数a=1，b=0．
（2）由（1）可得f（x）=[x
x2+1，设-1＜x1＜x2＜1，则可得f（x2）-f（x1）=
x2
x22+1-
x1
x12+1=
(x2−x1)(1−x1•x2)
(x22+1)(x12+1)．
由题设可得 x2-x1＞0，1-x1•x2＞0，∴
(x2−x1)(1−x1•x2)
(x22+1)(x12+1)＞0，f（x2）-f（x1）＞0，故函数f（x）在区间（-1，1）上为增函数．
（3）由于函数g（x）=3-x-f（x）=3-x-
x
x2+1，g（-1）g（1）=（3+
1/2]）（[1/3]-[1/2]）=-[7/12]＜0，
可得函数 g（x）在（-1，1）上有零点．
点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数的零点．
考点点评： 本题主要考查函数的单调性的判断和证明，函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．
1年前
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