Question

椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，该椭圆经过点 P(1， 3 2 ) 且离心率为 1 2 ．

Answer 1

（1）椭圆的标准方程为

x 2

4 +

y 2

3 =1 （4分）

（2）设A（x ₁，y ₁），B（x ₂，y ₂），

y=kx+m

x 2

4 +

y 2

3 =1 得：（3+4k ²）x2+8kmx+4（m ²-3）=0，

∵△＞0，∴3+4k ²-m ²＞0，

x 1 + x 2 =-

8mk

3+4 k 2 ， x 1 x 2 =

4( m 2 -3)

3+4 k 2 ∴ y 1 y 2 =

3( m 2 -4 k 2 )

3+4 k 2 （6分）

∵以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，∴k _AD•k _BD=-1，

∴y ₁y ₂+x ₁x ₂-2（x ₁+x ₂）+4=0，∴7m ²+16mk+4k ²=0，

∴m ₁=-2k， m 2 =-

2

7 k，且均满足3+4k ²-m ²＞0，（9分）

当m ₁=-2k时，l的方程为y=k（x-2），则直线过定点（2，0）与已知矛盾

当 m 1 =-

2

7 k 时，l的方程为 y=k(x-

2

7 ) ，则直线过定点 (

2

7 ，0)

∴直线l过定点，定点坐标为 (

2

7 ，0) （12分）