Question

函数及其应用设函数f(x)对所有x>0均有定义,且满足下列三个条件:①函数f(x)在(0,+∞)上为减函数;②对所有x>

Answer 1

f(1)=(1+√5)/2

令x=1,则f(1)f[f(1)+1]=1,

有f[f(1)+1]=1/f(1)①

再令x=f(1)+1,代入f(x)*f[f(x)+(1/x)]=1.

则f[f(1)+1]f{f[f(1)+1]+1/[f(1)+1]}=1

将①代入,得[1/f(1)]f{1/f(1)+1/[f(1)+1]}=1

所以f{1/f(1)+1/[f(1)+1]}=f(1)

因为函数单调,所以有1/f(1)+1/[f(1)+1]=1

解得f(1)=(1+√5)/2或f(1)=(1-√5)/2

又因为x>0,均有f(x)>(1/x);

所以f(1)=(1+√5)/2