配方,
x²+y²-4mx-2(m+2)y+6m²+2m+1=0
∴ x²-4mx+4m²+y²-2(m+2)y+(m+2)²=-6m²-2m-1+4m²+(m+2)²
∴ (x-2m)²+[y-(m+2)]²=-m²+2m+3
（1）
圆心是M(2m,m+2)
在直线 x-2y+4=0上,
（2）
半径R,
则 R²=-(m²-2m-3)=-(m-1)²+4
∴ m=1时,R²有最大值4
∴ 圆的方程是(x-2)²+(y-3)²=4
（3）
直线l:(2a+1)x+(a+1)y-4a-3=0
即 a(2x+y-4)+x+y-3=0
∴ 2x+y-4=0
x+y-3=0
解得 x=1,y=2
即直线恒过N (1,2)
（2）中的圆心M(2,3),半径为2
最短的弦是过N与MN垂直的直线与圆相交而得
K(MN)=(2-3)/(1-2)=1
∴ 所求直线的斜率是-1
直线方程是(y-2)=-(x-1)
即 x+y-3=0
此时,2a+1=a+1
∴ a=0