Question

（2014•湖北模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn满足：Sn=[3/2]an+n-3．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）根据条件，求出相应数列的第一项，再利用前n项和与第n项的关系，求出要证数列的第n项与第n-1项的比值为为定值；

（Ⅱ）根据条件，对不等式左边求和，再求出最值，利用恒成立的情况，得到m的取值范围，从而求出满足条件的值．

（Ⅰ）证明：当n=1时，S1＝a1＝

3

2a1−2，解得a₁=4，

当n≥2时，由Sn＝

3

2an+n−3得Sn−1＝

3

2an−1+n−4，

两式相减，得Sn−Sn−1＝

3

2an−

3

2an−1+1，即a_n=3a_n-1-2，

则a_n-1=3（a_n-1-1），

故数列{a_n-1}是以a₁-1=3为首项，公比为3的等比数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知an−1＝3n，cn＝log3(a1−1)+log3(a2−1)+…+log3(an−1)＝1+2+…+n＝

n(n+1)

2，

所以[1

cn＝

2

n(n+1)＝2(

1/n−

1

n+1)，

则

1

c1+

1

c2+…+

1

cn＝2[(1−

1

2)+(

1

2−

1

3)+…+(

1

n−

1

n+1)]＝2(1−

1

n+1)，

由

1

c1+

1

c2+…+

1

cn≥

m

3]对任意n∈N^*都成立，得2(1−

1

n+1)≥

m

3，

即

点评：

本题考点： 数列与不等式的综合；数列的求和．

考点点评： 本题考查的是数列和不等式的知识，具体有：等比数列定义，数列前n项和与第n项的关系，数列的求和，代数式的最值，不等式的解，本题的知识容量较大，属于难题．