解题思路：集合A是集合B的子集，说明集合B非空，且集合A的左端点值大于等于B的左端点值，同时集合A的右端点值小于等于集合B的右端点值，然后列式计算．
由集合A={x|1≤x≤3}，B={x|a≤x≤a+3}，且A⊆B，
则
a≤1
a+3≥3解得：0≤a≤1．
所以实数a的取值范围是[0，1]．
故答案为[0，1]．
点评：
本题考点： 集合关系中的参数取值问题；子集与真子集．
考点点评： 本题考查了集合关系中的参数取值问题，解答的关键是根据子集概念，找出两个集合端点值的关系，体现了数轴上的数与形的结合．