（1）①证明：如图3，∵AB为直径，
BC＝
BM，
∴AB⊥CM，
∴∠CEB=∠CEA=90°，
∵AP∥CM，
∴∠PAB=90°
∴AB⊥AP，
∴AP为⊙O的切线；
②∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠B=90°，
∵∠CEA=90°，
∴∠CAB+∠ACE=90°，
∴∠ACE=∠B．
∵sin∠ACE=
1
3，
∴sin∠B=
1
3=
AC
AB，且AC=4，
∴
4
AB＝
1
3，
∴AB=12，
∴⊙O的半径为6．
（2）∵∠OAC=60°，且OA=OC，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC=60°，
如图2，当点M运动到点C关于AB的对称点M′时，S△MAO=S△CAO，则
AM′=
60×4π
180=
4
3π，
如图4，过点M′作M′M″∥AB，交⊙O于点M″，当点M 运动到M″时，S△MAO=S△CAO，则
AM″=
120×4π
180=
8
3π．
∴动点M所经过的弧长为：
8
3π或
4
3π．