Question

高中圆锥曲线 直线y=ax+b与抛物线y=1/4x^2+1相切于点p,若p点横坐标为整数,求a^2+b^2的最小值

Answer 1

抛物线是对称的,a^2+b^2的最小值,也是对称的

那么答案也是对称的

应该是 0 和 1 才是【正确】的

抛物线 y=1/4*x^2+1

导数 dy/dx=1/2*x

【假设】：

P 点横坐标是 m

那么 P（m,1/4*m^2+1）

切线方程为

y-(1/4*m^2+1)=1/2*m*(x-m)

y=1/2*m*x+(1/4*m^2+1)-1/2*m^2

对照直线 y=ax+b

a=1/2*m

b=(1/4*m^2+1)-1/2*m^2=1-1/4*m^2

a^2+b^2

=(1/2*m)^2+(1-1/4*m^2)^2

=1/4*m^2+1-1/2*m^2+(1/4*m^2)^2

=1-1/4*m^2+(1/4*m^2)^2

若 P 点横坐标是整数

m=0 ,a^2+b^2=1

m=±1 ,a^2+b^2=13/16

m=±2 ,a^2+b^2=1

最小值是 m=±1 ,a^2+b^2=13/16