Question

（本小题满分12分）如图,三定点A(2,1),B(0,－1),C(－2,1); 三 动点D,E,M满足="t,"

Answer 1

(Ⅰ) k _DE∈[－1，1]．

(Ⅱ) 所求轨迹方程为: x ²=4 y ， x ∈[－2，2]

解法一: 如图， (Ⅰ)设 D ( x ₀， y ₀)， E ( x _E， y _E)， M ( x ， y )．由= t ，

= t ， 知( x _D－2， y _D－1)= t (－2，－2)．

∴ 同理 ．

∴ k _DE= = = 1－2 t ．

∵

t ∈[0，1] ， ∴ k _DE∈[－1，1]．

(Ⅱ) ∵= t ∴( x +2 t －2， y +2 t －1)= t (－2 t +2 t －2，2 t －1+2 t －1)

= t (－2，4 t －2)=(－

2 t ，4 t ²－2 t )．

∴ ， ∴ y =， 即 x ²=4 y ．∵ t ∈[0，1]， x =2(1－2 t )∈[－2，2]．

即所求轨迹方程为: x ²=4 y ， x ∈[－2，2]

解法二:

(Ⅰ)同上．

(Ⅱ) 如图， ="+" =" + " t =" +" t (－) = (1－ t ) + t ，

=" +" = + t = + t (－) =(1－ t ) + t ，

=" +=" + t = + t (－)=(1－ t ) + t

= (1－ t ²) + 2(1－ t ) t + t ²．

设 M 点的坐标为( x ， y )，由=(2，1)， =(0，－1)， =(

－2，1)得

消去 t 得 x ²=4 y

∵ t ∈[0，1]， x ∈[－2，2]．

故所求轨迹方程为: x ²=4 y ， x ∈[－2，2]