Question

（2010•宜春模拟）下列给出的四个命题中：

Answer 1

解题思路：①由点P_n（n，a_n）都在直线y=2x+1上得到a_n=2n+1，由通项公式知是充分，但反之等差数列很多，是不必要的．

②若“直线（m+2）x+my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”则有：（m+2）（m-2）+（m+2）m=0整理得（m+2）（2m-1）=0有两个根．③令x=0，x²+y²+Dx+Ey+F=0化为：y²+Ey+F=0由韦达定理得y₁y₂=F；令y=0，x²+y²+Dx+Ey+F=0化为：x²+Dx+F=0由韦达定理得x₁x₂=F，从而有x₁x₂-y₁y₂=0；

④由“a₁=0，|a₂|=|a₁-1|，|a₃|=|a₂-1|，…，|a_n|=|a_n-1-1|，”得数列是：0，1，0，1，0，1，…0，1…从而得到结论．

∵点P_n（n，a_n）都在直线y=2x+1上

∴a_n=2n+1

∴{a_n}是以3为首项，以2为公差的等差数列

所以是充分的

若{a_n}为等差数列，则公差不一定为2，首项也不一定为3

所以是不必要的

故①正确．

②若“直线（m+2）x+my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”

则有：（m+2）（m-2）+（m+2）m=0

∴（m+2）（2m-1）=0

∴m=-2或m=

1

2

故②不正确．

令x=0，x²+y²+Dx+Ey+F=0化为：y²+Ey+F=0

由韦达定理

y₁y₂=F

令y=0，x²+y²+Dx+Ey+F=0化为：x²+Dx++F=0

由韦达定理

x₁x₂=F

∴x₁x₂-y₁y₂=0；

故③正确

由“a₁=0，|a₂|=|a₁-1|，|a₃|=|a₂-1|，…，|a_n|=|a_n-1-1|，”

可推知数列是：0，1，0，1，0，1，…0，1…

∴a₁+a₂+a₃+a₄的最大值为2．

故④正确．

故答案为：①③④

点评：

本题考点： 数列与函数的综合；命题的真假判断与应用；直线的一般式方程与直线的垂直关系；圆的标准方程．

考点点评： 本题主要考查数列与函数，方程及逻辑用语的综合运用，主要涉及了等差数列的定义及通项公式，圆的方程及韦达定理和数列规律的探究．