糖水问题
在含有a克糖的b克糖水中,加入m克糖,糖水会变甜.
这一事实中,我们可以得到这样一个数学命题：
如果b＞a＞0,那么a/b＜(a+m)/(b+m),其中m＞0,m为实数
从化学角度说,糖水会变甜,指溶解在水中的糖的质量分数变大了
原糖水中溶解在水中的糖的质量分数=a/b*100%
加入m克糖,即溶液中溶质的量增大了,增大后溶解在水中的糖的质量=a+m
同样的,溶液的质量也增大了,增大后溶液的质量变为b+m
所以加入m克糖后,溶解在水中的糖的质量分数增大为=（a+m)/(b+m)*100%
溶液质量大于溶质质量大于0,b＞a＞0
从而得到结论a/b＜(a+m)/(b+m) （注意 m取值范围m＞0,m为实数)
从数学角度,我们则要进行计算,如下：
(a+m)/(b+m)-a/b
=[(a+m)b-(b+m)a]/(b+m)b
=m(b-a)/(b+m)b
其中(b+m)b 为分母,(b+m)b＞0
m(b-a)为分子,由b＞a＞0,可知m(b-a)＞0
所以m(b-a)/(b+m)b ＞0
即(a+m)/(b+m)-a/b＞0
可知(a+m)/(b+m)＞a/b
从而得到结论a/b＜(a+m)/(b+m) （注意 m取值范围m＞0,m为实数)
均值不等式的证明
证明方法很多,数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等
下面介绍个好理解的方法
琴生不等式法
琴生不等式：上凸函数f(x),x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点,
则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]
设f(x)=lnx,f(x)为上凸增函数
所以,ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=lnn次√(x1*x2*...*xn)
即(x1+x2+...+xn)/n≥n次√(x1*x2*...*xn)