Question

如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A（-2，0）、B（2，0）、C（0，-1）三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于

Answer 1

解题思路：（1）设函数解析式为y=ax²+bx+c，然后利用待定系数法求解即可；

（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），然后代入抛物线方程，用含y₂的式子表示出ON，设ON的中点E，分别过点N、E向直线l、作垂线，垂足为P、F，利用梯形的中位线定理可得出EF，与所求ON的值进行比较即可得出结论；

（3）过点M作MH丄NP交NP于点H，在RT△MNH中表示出MN²，结合直线方程将MN²化简，求出MN，然后延长NP交l₂于点Q，过点M作MS丄l₂交l₂于点S，则可证M、N两点到直线l₂的距离之和等于线段MN的长．

（1）设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，

由函数经过（-2，0），B（2，0），C（0，-1）三点可得：

0＝4a−2b+c

0＝4a+2b+c

−1＝c ，解得a=[1/4]，b=0，c=-1，

所以y=[1/4]x²-1；

（2）证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），因为点M、N在抛物线上，

所以 y₁=[1/4]

x21-1，y₂=[1/4]

x22-1，所以

x22=4（y₂+1）；

又ON²=x₂²+y₂²=4（y₂+1）+y₂²=（y₂+2）²，所以ON=|2+y₂|，

又因为y₂为正，所以ON=2+y₂，

设ON的中点E，分别过点N、E向直线l、作垂线，垂足为P、F，则EF=[OC+NP/2]=1+

y2

2，

所以ON=2EF，即ON的中点到直线l₁的距离等于ON长度的一半，

所以以ON为直径的圆与l₁相切；

（3）过点M作MH⊥NP交NP于点H，则MN²=MH²+NH²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²，

又y₁=kx₁，y₂=kx₂，所以（y₂-y₁）²=k²（x₂-x₁）²
所以MN²=（1+k²）（x₂-x₁）²；

又因为点M，N在y=kx的图象上又在抛物线上，

所以kx=[1/4]x²-1，即x²-4kx-4=0，所以x=

4k±

16k2+16

2=2k±2

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；函数解析式的求解及常用方法；直线与圆的位置关系．

考点点评： 本题考查待定系数法求函数解析式，考查根与系数的关系，梯形的中位线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．