已知数列{an},其中a1=1,an=3n-1•an-1(n≥2,n∈N),数列{bn}的前n项和Sn=log3(an9

1个回答

  • 解题思路:(1)通过对已知等式的两边取对手得到an=3n-1•an-1(n≥2,n∈N),通过累加求和的方法得到数列{an}的通项公式;

    (2)将(1)中的结果代入

    S

    n

    =lo

    g

    3

    (

    a

    n

    9

    n

    )

    并化简,利用通项与和的关系求出数列{bn}的通项公式;

    (3)通过对n的讨论判断出bn的符号,然后将Tn=|b1|+|b2|+…+|bn|.的绝对值符号去掉,转化为数列{bn}的前n项和的问题,利用等比数列的前n项和公式求出值.

    (1)因为an=3n-1•an-1(n≥2,n∈N),

    所以log3an=log3an-1+(n-1),

    an=3n-1•an-1(n≥2,n∈N),累加得log3an-log3a1=1+2+3+…+(n-1)=

    n(n-1)

    2,

    ∴log3an=

    n(n-1)

    2,则an=3

    n(n-1)

    2

    (2)

    而b1=S1=-2,当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=n-3,n=1时也适合,

    所以数列{bn}的通项公式为bn=n-3(n∈N*)

    (3)当bn=n-3≤0,即n≤3时,Tn=-Sn=

    5n-n2

    2,

    当bn=n-3>0,即n>3时,Tn=|b1|+|b2|+…+|bn|=(b1+b2+…+bn)-(b1+b2+b3)=Sn-2S3=

    n2-5n+12

    2,综上所述Tn=

    5n-n2

    2(n≤3,且n∈N*)

    n2-5n+12

    2(n>3,且n∈N).

    点评:

    本题考点: 数列的求和;等差数列的通项公式.

    考点点评: 求数列的前n项和,应该先求出数列的通项,根据通项的特点然后选择合适的求和方法进行计算.