公式法,累加法,累乘法,待定系数法,对数变换法,迭代法,数学归纳法,换元法.
一、公式法
例1 已知数列满足,求数列的通项公式.
两边除以,得,则,故数列是以为首项,以为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得,所以数列的通项公式为.
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为,说明数列是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出,进而求出数列的通项公式.
二、累加法
例2 已知数列满足,求数列的通项公式.
x05
所以数列的通项公式为.
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出,即得数列的通项公式.
例3 已知数列满足,求数列的通项公式.
所以
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出,即得数列的通项公式.
已知数列满足,求数列的通项公式.
两边除以,得,
则,故
因此,
则
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出,即得数列的通项公式,最后再求数列的通项公式.
三、累乘法
例5 已知数列满足,求数列的通项公式.
因为,所以,则,故
所以数列的通项公式为
评注：本题解题的关键是把递推关系转化为,进而求出,即得数列的通项公式.
例6已知数列满足,求的通项公式.
因为x05x05①
所以x05x05②
用②式－①式得
则
故
所以x05x05③
由,则,又知,则,代入③得.
所以,的通项公式为
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出,从而可得当的表达式,最后再求出数列的通项公式.
四、待定系数法
例7 已知数列满足,求数列的通项公式.
设x05x05④
将代入④式,得,等式两边消去,得,两边除以,得代入④式得x05x05⑤
由及⑤式得,则,则数列是以为首项,以2为公比的等比数列,则,故.
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为,从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式.
例8 已知数列满足,求数列的通项公式.
设x05x05⑥
将代入⑥式,得
整理得.
令,则,代入⑥式得
x05x05⑦
由及⑦式,
得,则,
故数列是以为首项,以3为公比的等比数列,因此,则.
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为,从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求数列的通项公式.
例9 已知数列满足,求数列的通项公式.
设 ⑧
将代入⑧式,得
,则
等式两边消去,得,
解方程组,则,代入⑧式,得
⑨
由及⑨式,得
则,故数列为以为首项,以2为公比的等比数列,因此,则.
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为,从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式.
五、对数变换法
例10 已知数列满足,求数列的通项公式.
因为,所以.在式两边取常用对数得x05x05⑩
设x05
将⑩式代入式,得,两边消去并整理,得,则
,故
代入式,得
由及式,
得,
则,
所以数列是以为首项,以5为公比的等比数列,则,因此
则.
评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为,从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式.
六、迭代法
例11 已知数列满足,求数列的通项公式.
因为,所以
x05
又,所以数列的通项公式为.
评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式.即先将等式两边取常用对数得,即,再由累乘法可推知,从而.
七、数学归纳法
例12 已知数列满足,求数列的通项公式.
由及,得
x05
x05由此可猜测,往下用数学归纳法证明这个结论.
（1）当时,所以等式成立.
（2）假设当时等式成立,即,则当时,
x05
由此可知,当时等式也成立.
根据（1）,（2）可知,等式对任何都成立.
评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项,进而猜出数列的通项公式,最后再用数学归纳法加以证明.
八、换元法
例13 已知数列满足,求数列的通项公式.
故,代入得
即
因为,故
则,即,
可化为,
所以是以为首项,以为公比的等比数列,因此,则,即,得
.
评注：本题解题的关键是通过将的换元为,使得所给递推关系式转化形式,从而可知数列为等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式.