在三角形ABC中,角BAC=90度,AB=AC,P为BC上的一点,求证2分之1(BP的平方+PC的平方)=PA的平方

1个回答

  • 过程挺复杂,需要用到余弦定理,推导过程如下:

    首先设PA=a,PB=b,PC=c,

    则BC=b+c.

    因为是等腰直角三角形,可设AB=AC=R,则

    BC=根号2R

    所以b+c=根号2R. (1式)

    因为,根据已知条件定理,角BPA+角APC=180°

    所以,根据三角函数定理,CosBPA=-CosAPC,

    所以,根据余弦定理,以及所设的AB、AC、BC等边,可得如下式子:

    (a方+c方-R方)/2ac=-(a方+b方-R方)/2ab,

    由此化简后,可得

    a方=R方-bc (2式)

    根据1式,R=(b+c)/根号2 (3式)

    将3式代入2式,得

    a方=〔(b+c)/根号2〕方-bc

    a方=1/2*(b+c)方-bc

    再化简,得

    a方=1/2(b方+c方)+bc-bc

    a方=1/2(b方+c方)

    PA方=1/2(BP方+PC方) 得证.