已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),求证q=-1是数列{an}成等比数列的充要条件.

2个回答

  • 解题思路:先求出a1的值,再由n≥2时,an=Sn-Sn-1=(p-1)•pn-1进而可判定n≥2时,{an}是等比数列,最后再验证当n=1时q=-1时可满足,{an}是等比数列,从而{an}是等比数列的必要条件是p≠0且p≠1且q=-1;当p≠0且p≠1且q=-1时,根据Sn=pn-1可求出an=(p-1)•pn-1,进而得到

    a

    n

    a

    n−1

    =p即{an}是等比数列,即可知q=-1是{an}是等比数列的充分条件.

    证明:当n=1时,a1=S1=p+q;

    当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(p-1)•pn-1

    由于p≠0,p≠1,

    ∴当n≥2时,{an}是等比数列.要使{an}(n∈N*)是等比数列,

    a2

    a1=p,即(p-1)•p=p(p+q),

    ∴q=-1,即{an}是等比数列的必要条件是p≠0且p≠1且q=-1.

    再证充分性:

    当p≠0且p≠1且q=-1时,Sn=pn-1,

    an=(p-1)•pn-1

    an

    an−1=p(n≥2),

    ∴{an}是等比数列.

    点评:

    本题考点: 等比关系的确定;必要条件、充分条件与充要条件的判断.

    考点点评: 本题主要考查等比数列的充要条件,考查基础知识的综合运用.