Question

在数列{an}中，a1=-14，3an-an-1=4n（n≥2，n∈N*）．

Answer 1

解题思路：（I）要证数列{a_n-2n+1}是等比数列，利用已知条件构造，只要证明

a

n+1

− 2(n+1)+1

a

n

−2n+1

＝q

即可

（II）由（I）可求a_n，通过比较a_n与a_n-1的大小研究数列的单调性，且通过且a₁＜0，a₂＜0，a₃＞0，可知数列和的最小值

（I）∵3a_n-a_n-1=4n（n≥2，n∈N^*），∴an＝

1

3(an−1+4n)，∴an+1−2(n+1)+1＝

1

3[an+4(n+1)]−2(n+1)+1＝

1

3an−

2n

3+

1

3＝

1

3(an−2n+1)，（4分）

∴a_n-2n+1是以-15为首项，[1/3]为公比的等比数列．（6分）

（II）∵an−2n+1＝−15•(

1

3)n−1，∴an＝−15•(

1

3)n−1+2n−1，

当n≥2时，an−an−1＝2+10•(

1

3)n−2＞0，

∴数列a_n是单调递增数列，且a₁＜0，a₂＜0，a₃＞0，（12分）

∴当且仅当n=2时，S_n的最小值是S₂=a₁+a₂=-14+（-2）=-16．（14分）

点评：

本题考点： 等比关系的确定；数列的函数特性．

考点点评： 本题利用定义构造证明等比数列，结合等比数列的定义，构造两项相除为定值的形式，做差法是比较两式大小的常用方法，通过研究数列的单调性，求数列和的最值问题，是数列问题的常考类型，属于综合性试题．