Question

在证方体ABCD_A1B1C1D1中 E.F是BB1,CD的中点 求EF的长 求证 D1F垂直平面 求AE与B1C所成的

Answer 1

设AB=a EF=根号（EB²+BF²）=根号（EB²+BC²+CF²）=[a根号(6)]/2

1.设DA、DC、DD1为X轴,y轴,z轴 A(a,0,0),E(a,a,a/2),D(0,0,0),F(0,a/2,0),D1(0,0,a)

则向量D1F=(0,0.5a,-a),DA=（a,0,0),AE=(0,a,0.5a）

D1F*DA=0*a+0.5a*0-a*0=0,D1F*AE=0*0+0.5a*a-a*0.5a=0

所以 D1F⊥DA,D1F⊥AE 所以 D1F⊥平面ADE

2.B1（a,a,a),C(0,a,0) C B1=(a,0,a） ,AE=(0,a,0.5a）

B1C*AE=0.5a²,|CB1|=a根号（2),|AE|=a根号（5)/2

cosθ=0.5a²/(a根号（2)*a根号（5)/2)=1/根号（10)=根号（10)/10