Question

已知抛物线C：y2=4x，过点A（x0，0）（其中x0为常数，且x0＞0）作直线l交抛物线于P，Q（点P在第一象限）；

Answer 1

解题思路：（1）设出直线PD的方程，令y=0，求出x，设l：y=k（x-x₀），代入抛物线方程，化简即可得到结论；

（2）设

l

M

1

M

2

：y=kx+m，代入抛物线方程，利用韦达定理及重心坐标，求出M₁的坐标，利用M₁在抛物线y²=4x上，即可求得结论．

（1）证明：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则D（x₂，-y₂），直线PD的方程为y−y1＝

y1+y2

x1−x2(x−x1)，

令y=0，x=

x2y1+x1y2

y1+y2=

y22

4•y1+

y12

4•y2

y1+y2=

y1y2

4，

设l：y=k（x-x₀），代入抛物线方程，得到ky²-4y-4kx₀=0，∴y₁y₂=-4x₀

∴x=x₀，即B（x₀，0）为定点；

（2）A（1，0），设lM1M2：y=kx+m，M₁（x₁′，y₁′），M₂（x₂′，y₂′），M₃（x₃′，y₃′），M₁M₂中点E（x_E′，y_E′），

lM1M2：y=kx+m代入抛物线方程，可得k²x²+（2km-4）x+m²=0，

∴x₁′+x₂′=[4−2km

k2，

∴y₁′+y₂′=

4/k]，

∴E（[2−km

k2，

2/k]），

∵2

EF=

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．

考点点评： 本题考查直线恒过定点，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．