Question

求函数y=3−x2+2x+3的定义域、值域和单调区间．

Answer 1

解题思路：根据题意，定义域的求解易知为（-∞，+∞），值域的求解通过换元法将3+2x-x²换成u，通过二次函数的知识求得u的范围为（-∞，4]，再根据指数函数y=3^u的单调性即可求解

利用复合函数的单调性的特点（根据同增异减口诀，先判断内层函数的单调性，再判断外层函数单调性，在同一定义域上，若两函数单调性相同，则此复合函数在此定义域上为增函数，反之则为减函数）判断出函数的单调区间，在根据定义：（就是定义域内的任意取x₁，x₂，且x₁＜x₂，比较f（x₁），f（x₂）的大小，或f（x₁）＜f（x₂）则是增函数；反之则为减函数）证明即可

根据题意，函数的定义域显然为（-∞，+∞）．

令u=f（x）=3+2x-x²=4-（x-1）²≤4．

∴y=3^u是u的增函数，

当x=1时，y_max=f（1）=81，而y=3−x2+2x+3＞0．

∴0＜3^u≤3⁴，即值域为（0，81]．

（3）当x≤1时，u=f（x）为增函数，y=3^u是u的增函数，

由x越大推出u越大，u越大推出y越大

即x越大y越大

∴即原函数单调增区间为（-∞，1]；

其证明如下：

任取x₁，x₂∈（-∞，1]且令x₁＜x₂

则

f(x1)

f(x2)=3−

x21+2 x1+3÷3−

x22+2x2+3 =3−

x21+2 x1 +3+

x22−2x2−3=3(

x22 −

x21) +2 (x1 −x2)=

3(

x22 −

x21) +2(x1 −x2)＝3(x1−x2)(2−x1−x2)

∵x₁＜x₂，x₁，x₂∈（-∞，1]

∴x₁-x₂＜0，2-x₁-x₂＞0

∴（x₁-x₂）（2-x₁-x₂）＜0

∴3(x1−x2)(x1+x2+2)＜1

∴f（x₁）＜f（x₂）

∴原函数单调增区间为（-∞，1]

当x＞1时，u=f（x）为减函数，y=3^u是u的增函数，

由x越大推出u越小，u越小推出y越小，

即x越大y越小

∴即原函数单调减区间为[1，+∞）．

证明同上．

点评：

本题考点： 指数函数的定义、解析式、定义域和值域；指数函数的单调性与特殊点．

考点点评： 本题考查了以指数函数为依托，通过换元法进行求解函数值域，另外还有复合函数的单调性问题，属于基础题．