Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C=60°，且3ab=25-c2，则△ABC的面积最大值为____

Answer 1

解题思路：根据余弦定理结合C=60°，算出c²=a²+b²-ab，结合题中的等式得a²+b²-ab=25-3ab，整理得（a+b）²=25，解出a+b=5．由基本不等式，得当且仅当a=b=[5/2]时ab的最大值为[25/4]，由此结合正弦定理的面积公式，即可算出△ABC的面积的最大值．

∵△ABC中，C=60°，∴c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab

又∵3ab=25-c²，得c²=25-3ab

∴a²+b²-ab=25-3ab，移项得（a+b）²=25，可得a+b=5

∵△ABC的面积S=[1/2]absinC=

3

4ab，且ab≤(

a+b

2)2=[25/4]

∴当且仅当a=b=[5/2]时，ab的最大值为[25/4]，此时△ABC的面积的最大值为

25

16

3

故答案为：

25

16

3

点评：

本题考点： 基本不等式；余弦定理．

考点点评： 本题给出三角形ABC的角C和边之间的关系式，求三角形面积的最大值．着重考查了用基本不等式求最值、三角形的面积公式和余弦定理等知识，属于中档题．