Question

（2006•深圳模拟）已知：a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边，a＞b，关于x的方程x2-2（a+b）x+2a

Answer 1

解题思路：根据一元二次方程有两相等的实根知△=0，得出关于a，b，c的勾股算式，知道C为斜边a，b为直角边，由△ABC的外接圆面积知道C的长；再根据勾股定理和正切余切的关系式求出b，c的长，再求出△ABC的周长．

关于x的方程x²-2（a+b）x+2ab+c²=0有两相等的实数根，

∴方程的根的判别式为0，

即4（a+b）²-4（2ab+c²）=0，

整理得a²+b²=c²，

∴△ABC为直角三角形且∠C为直角．

又sin∠A：sin∠B=4：3，

可设a=4k，b=3k，c=5k；

因为Rt△ABC的斜边为外接圆直径，

∴π•(

5

2k)2＝25π，

解得k=2，

∴a=8，b=6，c=10；

即△ABC的周长为8+6+10=24．

点评：

本题考点： 三角形的外接圆与外心；根的判别式．

考点点评： 本题主要考查根的判别式，勾股定理及三角形外接圆的特点．