附加题:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD,∠C=60°,AE⊥BD于点E,F是CD的中点,DG是梯形

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  • 解题思路:(1)本题可分别证明四边形AEFD的两边平行,先求DF∥EA,也就是求∠BDC=90°,已知∠C是60°,可以通过等腰梯形的性质得出∠BAD=∠ADC=120°,在等腰三角形ABD中,AE是底边的高,根据等腰三角形三线合一的特点可得出∠BAE=∠EAD=60°,E是BD中点,那么∠ADB=30°,因此便可证得∠BDC=90°即可得出AE∥DF,下面证AD∥EF,EF是三角形DBC的中位线,EF∥BC∥AD,因此便可得出四边形AEFD是平行四边形.

    (2)我们不难看出DG⊥EF,因此四边形EDFG的面积可用[1/2]EF•DG来求.直角三角形AED中有AE的值,有∠ADB的度数,可以求出AD的长,也就求出了EF的长,同理可在三角形DGC中求出DG的长,这样就能求出四边形DEGF的面积了.

    (1)证明:∵AB=DC,

    ∴梯形ABCD为等腰梯形.

    ∵∠C=60°,

    ∴∠BAD=∠ADC=120°.

    又∵AB=AD,

    ∴∠ABD=∠ADB=30°.

    ∴∠DBC=∠ADB=30°.

    ∴∠BDC=90°.

    由AE⊥BD,

    ∴AE∥DC.

    又∵AE为等腰△ABD的高,

    ∴E是BD的中点(等腰三角形三线合一).

    ∵F是DC的中点,

    ∴EF∥BC.

    ∴EF∥AD.

    ∴四边形AEFD是平行四边形.

    (2)在Rt△AED中,∠ADB=30°,

    ∵AE=x,

    ∴AD=2x.

    在Rt△DGC中∠C=60°,且DC=AD=2x,

    ∴DG=

    3x.

    由(1)知:在平行四边形AEFD中:EF=AD=2x,

    又∵DG⊥BC,

    ∴DG⊥EF.

    ∴四边形DEGF的面积=[1/2]EF•DG.

    ∴y=[1/2]×2x•

    3x=

    3x2(x>0).

    点评:

    本题考点: 梯形;平行四边形的判定.

    考点点评: 本题的关键是求出四边形AEFD是平行四边形,要根据已知条件选择比较容易的证法.