Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，∠ABC=60°，PA⊥底面ABCD，E、F分别是BC、PC的中点，PA=AB=2

Answer 1

解题思路：（1）依题意，在△ABE中，由AB=2，BE=1，∠ABC=60°，可证得AE⊥BC，从而得AE⊥AD，于是由线面垂直的判断定理可证得AE⊥平面PAD，继而可得AE⊥PD；

（2）可取AC的中点O，连接FO，由V_A-EFC=V_F-AEC即可求得答案．

证明：（1）依题意，在等腰△ABC中，∠ABC=60°，

∴△ABC为等边三角形，又E是BC的中点，

∴AE⊥BC，又BC∥AD，

∴AE⊥AD；

∵PA⊥底面ABCD，AE⊂底面ABCD，

∴AE⊥PA；

PA∩AD=A，

∴AE⊥平面PAD，PD⊂平面PAD，

∴AE⊥PD；

（2）连接BD与AC相交于O，连接FO，则O为AC的中点，又F是PC的中点，

∴FO

∥

.[1/2]PA=1，由PA⊥底面ABCD知，FO⊥底面ABCD；

又AE=2sin60°=

3，EC=1，

∴V_A-EFC=V_F-AEC

=[1/3]×[1/2]×AE×EC×FO

=[1/6]×

3×1×1

=

3

6．

点评：

本题考点： 直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 本题考查直线与平面垂直判断与性质，考查棱锥的体积，考查推理与运算能力，属于中档题．