Question

已知n∈N*，且(x+12)n展开式中前三项系数成等差数列．

Answer 1

解题思路：（1）根据通项公式和题中条件求得

C

0

n

+(

1

2

)

2

C

2

n

＝2(

1

2

C

1

n

)

，由此解得n的值．

（2）由（1）知，二项式系数最大的值为

C

4

8

，为第五项，利用通项公式求得第五项．

（3）分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和．

（1）由于二项式的通项公式为T_r+1=

Crn x^n-r•(

1

2)r=(

1

2)r•

C rn•x^r，

则由题意得

C0n+(

1

2)2

C2n＝2(

1

2

C1n)，…（2分）

解得n=8．…（4分）

（2）由（1）知，二项式系数最大的值为

C48，为第五项．…（6分）

且 T5＝

C48x4(

1

2)4＝

35

8x4．…（8分）

（3）∵(x+

1

2)8＝[(x−

1

2)+1]8＝a0+a1(x−

1

2)+a2(x−

1

2)2+…+a8(x−

1

2)8，…（9分）

令x＝

3

2，…（10分）

得a0+a1+…+a8＝28＝256．…（12分）

点评：

本题考点： 二项式定理；等差数列的性质．

考点点评： 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，属于中档题．