解题思路:(1)由已知中f(1)=2,代入可得m的值,进而求出函数的解析式,根据函数奇偶性的定义判断f(-x)与f(x)的关系,可得函数的奇偶性
(2)任取1<x1<x2,判断f(x2)与f(x1)的大小,进而根据函数单调性的定义,可得函数的单调性
(3)由(1)中所得函数的解析式,构造关于a的不等式,解不等式可得答案.
∵f(x)=x+
m
x,且f(1)=2
∴1+m=2,解得 m=1…(1分)
(1)y=f(x)为奇函数,理由如下:…..(2分)
∵f(x)=x+
1
x,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称…..(3分)
又f(−x)=(−x)+
1
−x=−(x+
1
x)=−f(x)
所以y=f(x)为奇函数…(4分)
(2)f(x)在(1,+∞)上的单调递增,理由如下…..(5分)
设1<x1<x2,
则f(x2)−f(x1)=x2+
1
x2−(x1+
1
x1)=(x2−x1)(1−
1
x1x2)…(7分)
∵1<x1<x2
∴x2-x1>0,1−
1
x1x2>0
故f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),f(x)在(1,+∞)上的单调递增…(9分)
(3)若f(a)>2,
即a+
1
a>2,显然a>0
则原不等式可化为a2-2a+1=(a-1)2>0
解得a>0且a≠1
点评:
本题考点: 奇偶性与单调性的综合.
考点点评: 本题考查的知识点是函数的奇偶性,函数的单调性,熟练掌握函数奇偶性与单调性的定义是解答的关键.