定义
数学上指一动点移动于一个平面上,与平面上两个定点F1,F2的距离的差的绝对值始终为一定值2a(2a小于F1和F2之间的距离）时所成的轨迹叫做双曲线(Hyperbola).两个定点F1,F2叫做双曲线的焦点(focus).两焦点的距离叫焦距,长度为2c.
[编辑本段]● 双曲线的第二定义:
x=a^2/c (c>a>0)
平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数.定点是双曲线的焦点,定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率.
注意：定点要在直线外；比值大于1
·双曲线的标准方程为(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1
其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2,动点与两个定点距离之差的绝对值为定值2a
[编辑本段]·几何性质：
1、取值区域：x≥a,x≤-a或者y≥a,y≤-a
2、对称性：关于坐标轴和原点对称.
3、顶点：A(-a,0) A’(a,0) AA’叫做双曲线的实轴,长2a；
B(0,-b) B’(0,b) BB’叫做双曲线的虚轴,长2b.
4、渐近线：
横轴：y=±(b/a)x
竖轴：y=±(a/b)x
5、离心率：
e=c/a 取值范围：（1,+∞)
6 双曲线上的一点到定点的距离和到定直线(相应准线)的距离的比等于双曲线的离心率
7 双曲线焦半径公式：圆锥曲线上任意一点到焦点距离.
过右焦点的半径r=|ex-a|
过左焦点的半径r=|ex+a|
8 等轴双曲线 双曲线的实轴与虚轴长相等
2a=2b e=√2
9 共轭双曲线
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 与 (y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1 叫共轭双曲线
（1）共渐近线
（2）e1+e2>=2√2
10 准线：x=±a^2/c,或者y=±a^2/c
11.通径（定义：圆锥曲线（除圆外）中,过焦点并垂直于轴的弦）：2b^2/a
12.焦点弦长公式：2pe/(1-e^2cos^2θ) [p为焦点到准线距离,θ为弦与X轴夹角]
13.d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)[(x1+x2)^2 - 4x1x2] = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2]
推导如下：
由 直线的斜率公式：k = (y1 - y2) / (x1 - x2)
得 y1 - y2 = k(x1 - x2) 或 x1 - x2 = (y1 - y2)/k
分别代入两点间的距离公式：|AB| = √[(x1 - x2)² + (y1 - y2)² ]
稍加整理即得：
|AB| = |x1 - x2|√(1 + k²) 或 |AB| = |y1 - y2|√(1 + 1/k²)
[编辑本段]双曲线的标准公式为：
X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0)
而反比例函数的标准型是 xy = c (c ≠ 0)
但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的
因为xy = c的对称轴是 x=0,y=0 而X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的对称轴是 y=x,y=-x
所以应该旋转45度
设旋转的角度为 a （a≠0,顺时针）
(a为双曲线渐进线的倾斜角)
则有
X = xcosa + ysina
Y = - xsina + ycosa
取 a = π/4
则
X^2 - Y^2 = (xcos(π/4) + ysin(π/4))^2 -(xsin(π/4) - ycos(π/4))^2
= (√2/2 x + √2/2 y)^2 -(√2/2 x - √2/2 y)^2
= 4 (√2/2 x) (√2/2 y)
= 2xy.
而xy=c
所以
X^2/(2c) - Y^2/(2c) = 1 (c>0)
Y^2/(-2c) - X^2/(-2c) = 1 (c