Question

设椭圆C1：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),抛物线C2：x^2+by=b^2（1）若C1经过C1的两个

Answer 1

（1）由已知椭圆焦点（c,0）在抛物线上,可得：c2=b2,

由a2=b2+c2=2c2,有c2a2=12⇒e=22．

（2）由题设可知M、N关于y轴对称,设M（-x1,y1）,N（x1,y1）（x1＞0）,由△AMN的垂心为B,有BM•AN=0⇒-x21+(y1-34b)(y1-b)=0．

由点N（x1,y1）在抛物线上,x12+by1=b2,解得：y1=-b4或y1=b(舍去)

故x1=52b,M(-52b,-b4),N(52b,-b4),

得△QMN重心坐标(3,b4)．

由重心在抛物线上得：3+b24=b2,所以b=2,M(-5,-12),N(5,-12),

又因为M、N在椭圆上得：a2=163,

椭圆方程为x2163+y24=1,抛物线方程为x2+2y=4．