Question

若函数f"(x)是连续函数,f(2)=3,f'(2)=0,∫(0,2)f(x)dx=2,求∫(0,1)x^2f"(2x)

Answer 1

∫(0--->1) x²f"(2x)dx

=1/2∫(0--->1) x²f"(2x)d(2x)

=1/2∫(0--->1) x²d(f '(2x))

=(1/2)x²f '(2x)-1/2∫(0--->1) 2xf '(2x)dx

=(1/2)x²f '(2x)-1/2∫(0--->1) xf '(2x)d(2x)

=(1/2)x²f '(2x)-1/2∫(0--->1) xd(f(2x))

=(1/2)x²f '(2x)-(1/2)xf(2x)+1/2∫(0--->1) f(2x)dx

令2x=u,则dx=(1/2)du,u：0--->2

=(1/2)x²f '(2x)-(1/2)xf(2x)+1/4∫(0--->2) f(u)du 将积分限代入(0--->1)

=(1/2)f '(2)-(1/2)f(2)+(1/4)*2

=0-3/2+1/2

=-1