Question

已知函数y=f（x）在R上是奇函数，而且在（0，+∞）是增函数．证明：

Answer 1

解题思路：（1）根据奇函数性质列出关系式，将x=0代入即可求出f（0）的值；

（2）任取x₁＜x₂＜0，则-x₁＞-x₂＞0，根据f（x）在（0，+∞）是增函数列出关系式，再利用奇函数的性质化简，得到f（x₁）＜f（x₂），即可得证．

证明：（1）∵f（x） 在R上是奇函数，

∴f（-x）=-f（x），

∴f（-0）=-f（0），

∴f（0）=0；

（2）任取x₁＜x₂＜0，则-x₁＞-x₂＞0，

∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，

∴f（-x₁）＞f（-x₂），

又f（x）在R上是奇函数，

∴-f（x₁）＞-f（x₂），即f（x₁）＜f（x₂），

∴函数y=f（x）在（-∞，0）上也是增函数．

点评：

本题考点： 诱导公式的作用；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 此题考查了诱导公式的作用，函数单调性的判断与证明，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．